Ecuacion: Ecuación de tercer grado

Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \,$ ,

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a C.

El caso general

Sea K un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la ecuación.

En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 3 tiene tres raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

Los pasos de la resolución son:

Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0). Se obtiene:

$x^3 + b'x^2 + c'x + d' = 0 \,$ con $b' = \frac {b} {a} \,$ , $c' = \frac {c} {a} \,$ , $d' = \frac {d} {a} \,$ .

Proceder al cambio de incógnita $z = x + \frac {b'} {3} \,$ , para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarrollar $\left ( z - \frac {b'} {3} \right )^3 \,$ con la identidad precedente, vemos aparecer el término $-b'z^2 \,$ , compensado exactamente por $b'z^2 \,$ que aparece en $b' \left ( z - \frac {b'} {3} \right )^2 \,$ . Se obtiene:

$z^3 + pz + q = 0 \,$ , con p y q números del cuerpo.

Y ahora, la astucia genial: escribir $z = u + v \,$ . Así, la ecuación precedente da $(u + v)^3 + p(u + v) + q = 0 \,$ .

Desarrollando: $u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + pu + pv + q = 0 \,$ .

Reagrupando: $(u^3 + v^3 + q) + (3uv^2 + 3u^2v + pu + pv) = 0 \,$ .

Factorizando: $(u^3 + v^3 + q) + (u + v)(3uv + p) = 0 \,$ .

Como se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z), es posible imponerse una condición adicional. Concretamente:

$3uv + p = 0 \,$ , que implica $u^3 + v^3 + q = 0 \,$ .

Pongamos $U = u^3 \,$ y $V = v^3 \,$ . Entonces tenemos $U + V = - q \,$ y $UV = -\frac {p^3} {27} \,$ porque $UV = (uv)^3 = (-\frac {p} {3})^3 \,$ . Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar $X^2 + qX - \frac {p^3} {27}=0\,$ , que se sabe resolver.

Luego $u\,$ y $v\,$ son raíces cúbicas de $U\,$ y $V\,$ (que verifican $uv = -\frac {p} {3} \,), z = u + v \,$ y finalmente $x = z - \frac {b'} {3} \,$ .

En el cuerpo $\mathbb{C}$ , si $u_0\,$ y $v_0\,$ son estas raíces cúbicas, entonces las otras son $\omega u_0\,$ y $\omega^2u_0\,$ , y por supuesto $\omega v_0\,$ y $\omega^2v_0\,$ , con $\omega = e^{\frac {2i \pi} {3}}\,$ , una raíz cúbica de la unidad.

Como el producto uv está fijado $\left( uv = -\frac{p}{3} \right)\,$ , las parejas $(u, v)\,$ posibles son $(u_0, v_0)\,$ , $(\omega u_0, \omega^2v_0)\,$ y $(\omega^2u_0, \omega v_0)\,$ .

Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto $\omega u_0 + \omega^2v_0 - \frac {b'} {3} \,$ y $\omega^2u_0 + \omega v_0 - \frac {b'} {3} \,$ .

El caso real

Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R. La distinción aparece cuando se sacan las raíces cuadradas en el cálculo de U y V. Las raíces cúbicas no plantean problemas.

Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante de la ecuación auxiliar $\Delta = (4p^3 + 27q^2)\,$ :

Si Δ > 0 existe una única raíz real. Las demás son complejas conjugadas.
Si Δ = 0 existe una raíz múltiple real: una raíz triple o una doble y otra simple, todas reales.
Si Δ <> existen tres raíces reales.

Habrán notado que siempre hay por lo menos una solución real. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en +∞ y -∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones contínuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios.

En la figura siguiente se registra todos los casos, según los signos de a y de Δ.

Primer ejemplo

Sea $2t^3 + 6t^2 + 12t + 10 = 0 \,$ .

Sigamos los pasos descritos en el primer párrafo.

$t^3 + 3t^2 + 6t + 5 = 0 \,$ (al dividir por 2)
Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando: $(x - 1)^3 + 3(x - 1)^2 + 6(x - 1) + 5 = 0 \,$ , y desarrollando: $x^3 + 3x + 1 = 0 \,$
x = u + v, U = u³, V = v³ y nos imponemos U + V = - 1 y UV = - 1. U y V son las raíces de X² + X - 1 = 0.

$U = \frac {-1 - \sqrt {5}} {2} \,$ y $V = \frac {-1 + \sqrt {5}} {2} \,$ , luego $u = \sqrt[3]{\frac {-1 - \sqrt {5}} {2}} \,$ y $v = \sqrt[3]{\frac {-1 + \sqrt {5}} {2}} \,$ .

$t = x - 1 = u + v - 1 = \sqrt[3]{\frac {-1 - \sqrt {5}} {2}} + \sqrt[3]{\frac {-1 + \sqrt {5}} {2}} - 1 \approx -1,3221853546$

Segundo ejemplo

Este ejemplo es histórico porque fue el que tomó Bombelli quien fue, con Cardano, el primero en resolver ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya expuesto (en la Italia del renacimiento, en pleno siglo XVI).

La ecuación es x³ - 15x - 4 = 0.

Estudiando la función x → x³ - 15x - 4 o calculando el discriminante Δ = -13068 <>

Los dos primeros pasos son inútiles. Pasamos al tercero: x = u + v, U = u³, V = v³.
U + V = 4 y UV = 125
U y V son las raíces de X² - 4X + 125 = 0, ecuación cuyo discriminante ya hemos calculado y que es negativo. Por lo tanto no tiene raíces reales. Este método no permite encontrar las raíces, todas reales, pasando obligatoriamente por los complejos. ¡ Es paradójico !
Esta constatación fue un argumento a favor de los complejos: son herramientas imprescindibles para resolver ecuaciones, aunque sólo tengan soluciones reales.
Hallamos U = 2 - 11·i y V = 2 + 11·i. Extraer raíces cúbicas en los complejos no es lo mismo que en los reales. Hay dos métodos: uno geométrico, que utiliza el argumento y el módulo (se divide el argumento por tres, y se toma la raíz cúbica del módulo), y otro algebraico, que emplea las partes real e imaginaria: Pongamos u = a + bi.
u³ = 2 - 11i equivale al sistema:
a³ - 3ab² = 2 (parte real)
3a²b - b³ = - 11 (parte imaginaria)
a² + b² = 5 (módulo)
Obtenemos a = 2 y b = -1, o sea u = 2 - i, y v es su conjugado: v = 2 + i.
En conclusión, x = u + v = (2 - i) + (2 + i) = 4, lo que se verifica de inmediato.

Las otras raíces son x' = j(2 - i) + j²(2 + i) = - 2 + √3 y x" = j²(2 - i) + j(2 + i) = - 2 - √3.
Cuando Δ es negativo, U y V son conjugados, y por lo tanto también lo son u y v (con tal de bien escoger la raíz cúbica, recordando que uv = -p/3); así estamos seguros de obtener un x real, y de hecho también x' y x".

| martes, 8 de septiembre de 2009

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Ecuación de tercer grado

El caso general

El caso real

Primer ejemplo

Segundo ejemplo

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