Ecuacion: Ecuación de cuarto grado

Una ecuación cuartica con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

$ax^4 + bx^3 + {cx^2}^{} + dx + e = 0$

donde a, b, c, d y e (siendo $a \ne 0$ ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a los reales $\mathbb{R}$ o loscomplejos $\mathbb{C}$ .

Caso general

Sea K un cuerpo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas (y por lo tanto también de cuarto orden, pues equivale a extraer raíces cuadradas dos veces seguidas). En este cuerpo, es posible factorizar por todo a, y la identidad siguiente es válida:

$(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 \,$ .

En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

El método siguiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo, eso sí, después de un largo cálculo.

Los pasos de la resolución son:

Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a. Se obtiene:

$x^4 + b'x^3 + c'x^2 + d'x + e' = 0 \,$ , donde $b' = \frac {b} {a} \,$ , $c' = \frac {c} {a} \,$ , $d' = \frac {d} {a} \,$ y $e' = \frac {e} {a} \,$

Proceder al cambio de incógnita $z = x + \frac {b'} {4} \,$ , para suprimir el término cúbico. En efecto, al desarrollar $(z - \frac {b'} {4})^4$ con la identidad precedente, vemos aparecer el término $-b'z^3 \,$ , compensado exactamente por $b'z^3 \,$ que aparece en $b'(z - \frac {b'} {4})^3 \,$ . Tras sustituir x y operando con las identidades notables, se obtiene:

$z^4 + pz^2 + qz + r = 0 \,$ , con p, q y r números del cuerpo.

Y ahora, la idea genial: factorizar lo anterior en $(z^2 + \alpha z + \beta )( z^2 - \alpha z + \gamma) \,$ , lo que es posible porque no hay z³ en el polinomio.

Desarrollando la expresión e identificando los dos polinomios, obtenemos las condiciones:

$\beta + \gamma - \alpha^2 = p \,$ (coeficiente de x²)

$\alpha(\gamma - \beta) = q \,$ (coeficiente en x)

$\beta \gamma = r \,$ (término constante)

Después de algunos cálculos, hallamos : $\alpha^6 + 2p\alpha^4 + (p^2 - 4r)\alpha^2 - q^2 = 0 \,$ Es una ecuación del sexto grado, pero si miramos bien, α sólo aparece con potencias pares.

Pongamos $A = α 2$ . Entonces:

$A^3 + 2pA^2 + (p - 4r)A - q^2 = 0 \,$ , lo que se sabe resolver porque es una ecuación de tercer grado.

Luego se encuentra α, β y γ, y se resuelven $z^2 + \alpha z + \beta = 0 \,$ y $z^2 - \alpha z + \gamma = 0 \,$ , y para rematar, no se olvide que $x = z - \frac {b'} {4}$ .

Ecuaciones bicuadradas

Éstas son un caso particular de las anteriores. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencia. Su forma polinómica es:

$ax^4 + {bx^2}^{} + c = 0$

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable ${x^2}^{}=u$

Con lo que nos queda: ${au^2}^{} + bu + c = 0$ El resultado resulta ser una ecuación de segundo gradoque podemos resolver usando la fórmula:

$u= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ahora bien, esto no nos da las cuatro soluciones esperadas. Aún hemos de deshacer el cambio de variable. Así las cuatro soluciones serán:

$x_1 = +\sqrt{u_1}$

$x_2 = -\sqrt{u_1}$

$x_3 = +\sqrt{u_2}$

$x_4 = -\sqrt{u_2}$

Otro caso particular: Ecuaciones casi-simétricas

El siguiente tipo de ecuación

$x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+m^2=0 \,$ , donde $m = \frac {a_3} {a_1} \,$ , puede ser resuelto así:

Al dividir la ecuación por $x 2$ , se obtiene

$x^2 + \frac {m^2} {x^2} + a_1x + \frac {a_3} {x} + a_2 = 0$

$(x^2 + \frac {m^2} {x^2}) + a_1(x + \frac {m} {x}) + a_2 = 0$

Haciendo cambio de variable:

$z=x + \frac {m} {x} \,$

llegamos a

$z^2 - 2m = x^2 + \frac {m^2} {x^2} \,$

Así

$(z^2 - 2m) + a_1z + a_2 = 0 \,$

Esta ecuación da 2 raíces,

z 1

z 2

Las raíces de la ecuación original pueden ser obtenidas resolviendo las siguientes ecuaciones de 2o grado:

$x^2 -z_1x + m = 0 \,$

$x^2 - z_2x + m = 0 \,$

Si $a 0$ no es 1 en $a_0x^4 + a_1x^3 + a_2x^2 + a_3x + a_0m^2 = 0 \,$

este método es de todas formas aplicable, luego de dividir la ecuación entre $a 0$ .

Las ecuaciones cuasi simétricas poseen la siguiente propiedad, que, por otra parte, las define: si $x 1$ , $x 2$ , y $x 3$ , $x 4$ son las raíces de la ecuación, entonces $x 1 x 2 = m$ . Dado que el producto de las 4 raíces es $m 2$ , entonces $x 3 x 4 = m$ necesariamente.

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